Женская грудь - идеальная упаковка для молока!

Уравнения Колмогорова. Предельные вероятности состояний

Рассмотрим математическое описание марковского процесса с дискретными состояниями и непрерывным временем на примере случайного процесса, граф которого изображен на рис. 6.12. Будем

Полагать, что все переходы системы из состояния S. в S. осуществля­ются под воздействием простейших потоков событий с интенсивно — стями X (г, j ~ 1, 2, 3); так, переход системы из состояния 5(> в про­изойдет под воздействием потока отказов первох о узла, а обратный переход из состояния S в S0 — под воздействием потока «окончаний ремонтов» первого узла и т. п.

Граф состояний системы с проставленными у стрелок интенсив — ностями будем называть размеченным {си. рис. 6.12) Рассматриваемая система 5 имеет четыре возможных состояния: S0, 5Ч, Sv

Вероятностью г го состояния называется вероятность Px{t) того, что в момент T система будет находиться в состоянии S, Очевидно, что для любого момента / сумма вероятност ей всех состояний равна единице:

3

(6.69)

Г=1

Рассмотрим систему в момент /и, задав малый промежуток At, най­дем вероятность P0{T + At) того, что система в момент 1 + At будет на­ходиться в состоянии S Это достигается разными способами.

1. Система в момент t с вероятностью P(j{t) находилась в состоя­нии SQ и за время At не вышла из него.

Вероятность того, что система будет находиться в состоянии S0 в момент t и не выйдет из него за время At, равна по теореме умноже­ния вероятностей

P0{t){-{Xm+X02)At).

2. Система в момент t с вероятностями Р {t) или P,{t) находилась в состоянии Si или S. и за время At перешла в состояние S{).

Система перейдет в состояние St] с вероятностью, приближенно равной XU)At или X.„ At. Вероятность того, что система перейдет в со­стоянии 5(> но этому способу, равна Px{t)X^At или А.1)С1Д L

Применяя теорему сложения вероятностей, получим

/>(« + At) = P0{t){ -{X()l + Л02)Д/) + Px{t)XwAt + P}{t)X20At,

Откуда

Po(< + A0-Po(0 = _Pq {t){K + ^} + p {t)K + p {t)X

At

Переходя к пределу при At» 0, получим в левой части уравнения производную V (/):

Т=-(^oi++(о+■

Получили дифференциальное уравнение первого порядка, т. е. уравнение, содержащее как саму неизвестную функцию, так и ее про­изводную первого порядка.

Рассуждая аналогично для других состояний системы S, можно получить систему дифференциальных уравнений Колмогорова для вероятностей состояний:

Т=-л, + к )ро «+Ка (о. Т=лк+К )1 (о+Кл (о+К п », Т=Лк+К щ со+Кл (о+^ (о,

/?(0 = -(Xsl +Хя)Я,(0 + Л12, Pt(t)+X23P2(e), (6.70)

Po(0+Pl(t)+Ps(0 + P3(t) = 1.

Сформулируем правило составления уравнений Колмогорова. J3 Левой части каждого из них стоит производная вероятности I-го состояния. В правой части — сумма произведении вероятностей всех состояний (из которых идут стрелки в данное состояние) на интенсивности соответствующих пото­ков событий минус суммарная интенсивность всех потоков, выводящих систему из данного состояния, умноженная на вероятность данного (I-го состояния).

Особенность решения дифференциальных уравнений вообще со­стоит в том, что требуется задать так называемые начальные усло­вия, т. е. в данном случае вероятности состояний системы в на­чальный момент I — 0. Так, например, систему уравнений (6.70) ес­тественно решать при условии, что в начальный момент оба узла ис­правны и система находилась в состоянии 50, т. е. при начальных ус­ловиях: Р0(0) = 1, Р,(0) = 0, р2(0) = 0, Ръ{0) = 0.

Уравнения Колмогорова дают возможность найти все вероятности состояний как функции времени Особый интерес представляют вероят­ности системы в предельном стационарном режиме, т. е. при T» 0, которые называк >тся предельными (или финальными) вероятностями состояний.

Предельная вероятность состояния имеет четкий смысл: она пока­зывает среднее относительное время пребывания системы в этом состоянии.

Так как предельные вероятности постоянны, то, заменяя в урав­нениях Колмогорова их производные нулевыми значениями, полу­чим систему линейных алгебраических уравнений, описывающих стационарный режим. Для системы S с графом состояний, изобра­женным на рис. 6.12, такая система уравнений имеет вид

-(Л01 +Х02)Р0 +Р1 +Х2()Р =0,

~(Х31 + Х^)РЯ+Х1ЯР1 +Л23 Р9 = 0. (6.71)

Нормировочное условие:

Р^РХ^Р,+РЪ = . (6.72)

Leave a Reply

Name (required)


Mail (required)


Website



СИСТЕМЫ АВТОМАТИЗИРОВАННОГО ПРОЕКТИРОВАНИЯ УПАКОВОЧНОГО ПРОИЗВОДСТВА

Решение задачи СМО с использованием системы MathCAD

Решим задачу СМО, приведенную в примере 4, с использованием системы MathCAD. Ввод текста на всех этапах решения задачи осуществляют с помо­щью комбинаций клавиш «Shift + "» , что позволяет создать тексто­вую область. Введем на рабочем листе первый пункт расчета: 1. Задание исходных данных. Затем последовательно введем исходные данные в поле экрана (рис. 6.18): X -0.25 […]

Использование специализированных САПР в допечатной стадии производства упаковки

Важным этапом произволе тва упаковки является доиечатный про­цесс. Качество готовой упаковки в значительной степени определя­ется допечатной стадией — дизайном. Можно утверждать, что конку­рентоспособность производителя полиграфической продукции оп­ределяется уровнем дизайна, который не в последнюю очередь зави­сит от программ ных с редств. Ксли вспомнить эволюцию систем допечатной подготовки, то можно отметить следующие закономерности Вначале применялись закрытые системы […]

Симплексный метод

Геометрическая интерпретация симплексного метода. В т еории линейного программирования рассмотрены основные теоремы ли­нейного программирования, из которых следует, что если задача ли­нейного программирования имеет оптимальное решение, то оно со­ответствует хотя бы одной угловой точке многогранника решений и совпадает по крайней мере с одним из допустимых базисных реше­ний системы ограничений. Там же указан путь решения любой зада­чи […]