СМО с отказами
В качестве показателей эффективности СМО с отказами будем рассматривать: А — абсолютную пропускную способность СМО, т. е. среднее число заявок, обслуживаемых в единицу времени; Q-относительНую пропускную способность, т. е. среднюю долю пришедших заявок, обслуживаемых системой; F — вероятность отказа, т. е. того, что заявка п окинет СМО необслуженной; к — среднее число запятых каналов (для мно — гоканальной системы).
Одноканальная система с отказами. Рассмотрим задачу. Имеется один канал, на который поступает поток заявок с интенсивностью X. Поток обслуживания имеет интенсивность ja. Здесь и в дальнейшем
предполагается, что все потоки событий, переводящие ( МО из состояния в состояние, будут простейшими. К ним относится и поток обслуживания — поток заявок, обслуживаемых одним непрерывно занятым каналом. Среднее время обслуживания /о£ обратно по величине интенсивности р., те /об = 1/jx.
Найти предельные вероятности состоянии системы и показатели се эффективности.
Система S (СМО) имеет два состояния: $() — канал свободен, — капал занят. Размеченный граф сос тояний представлен на рис. 6.14.
Л |
||||
1. |
||||
Ц |
Рис. 6 14. Граф одноканальной СМО с отказами |
В предельном стационарном режиме система алгсбраическихурав — нсний для вероятностей состояний имеет вид
Предельные вероятности состоянии
М „ X
1 =
Которые выражают среднее относительное время пребывания системы в состоянии 5 (когда канал свободен) и »S, (когда канал занят), т. е. определяют соответственно относительную пропускную способность Qсистемы и вероятность отказа F:
И
Х + ц’
(6.81) |
F = R = |
(6.82) |
X Х + Jx
Абсолютную Пропускную способность найдем, умножив относительную пропускную способность QhА ин тенсивность потока отказов:
Ар,
А- |
ATI
Пример 2. Пусть заявки на полиграфические работы при производстве упаковки поступают с интенсивностью X, равной 0,1 заявки в час, а средняя продолжительность производственного цикла составляет t = 5 ч Определить показатели эффективности работы СМО (типографии) при наличии одной печатной машины.
Решение. Имеем X = 0,1 (1/ч), T^ =5 ч. Интенсивность потока обслуживания 1/5 ч"1 = 0,2 ч-1.
По формуле (6.81) относительная пропускная способность СМО Q= 0,2/(0,1+ 0,2) — 0,66, т. е. в среднем только 66% поступающих заявок могут быть выполнены. Соответственно вероятность отказа по формуле (6.82) в обслуживании составит F= 0,34.
Абсолютная пропускная способность СМО по формуле (6.83) А = 0,1-0,66 = =0,066, т. е. в среднем в час будут обслужены 0,066 заявки. Очевидно, что при наличии только одной печатной машины СМО будет неудовлетворительно справляться с потоком заявок.
Многоканальная система с отказами. Рассмотрим классическую Задачу Эрланга (А. К. Эрланг — датский инженер, математик конца XIX — начала XX в.). Имеется п каналов, на которые поступает поток заявок с интенсивностью X. Поток обслуживания имеет интенсивность ц. Найти предельные вероятности состояний системы и показатели се эффективности.
Система S (СМО) имеет следующие состояния (нумеруем их но числу заявок, находящихся в системе): S, где Sk — со
Стояние системы, когда в ней находится к заявок, т. е. занято к каналов. Граф состояний СМО соответствует процессу гибели и размножения (рис. 6.15).
X |
X |
К х |
X Я |
|||||
So |
SI |
А’п |
||||||
М |
2Ц |
Зц кк |
"Lt |
Рис. 6 15 Граф состояний многоканальной СМО с отказами |
Поток заявок последовательно переводит систему из любого левого состояния в соседнее правое с одной и той же интенсивностью X. Интенсивность же потока обслуживания, переводящего систему из любого правого состояния в соседнее левое, постоянно меняется в зависимости от состояния. Действительно, если СМО находится в состоянии S2 (два канала заняты), то она может перейти в состояние (один канал занят), когда закончит обслуживание либо первый, либо второй канал, т. е. суммарная интенсивность их потоков обслуживания будет 2ц Аналогично суммарный поток обслуживания, переводящий СМО из
состояния S^ (три канала заняты) в S2, будет иметь интенсивность Зц, г. е. может освободиться любой из грех каналов и т. д.
Для схемы гибели и размножения получим для предельной вероятности состояния
А" |
^0 = |
, А А*
+ …+ |
(6.84) |
Ц 2!piz п\лп
Где члены разложения А/р., А2/(2! ц2), … , Ап(гг1 ц") будут представлять собой коэффициенты при Р0 в выражениях для предельных вероятностей Р, Ру …, Рк, … , Рп. Величина
Р = А/ц (6.85)
Называется приведенной интенсивностью потока заявок или интенсивностью нагрузки канала. Она выражает среднее число заявок, приходящее за среднее время обслуживания одной заявки. Тогда
‘ Р2 Р* Р" Vl
Ро = |
(6.86) |
K |
9! |
2 Л я
(6.87) |
Р — пР р-1_р р = i—р р =£_р 2! ft! п
Формулы (6.86) и (6.87) для предельных вероятностей получили названия формул Эрлангаъ честь основателя теории массового обслуживания.
П |
П |
( |
(6.90) 221 |
Абсолютная пропускная способность А = Х(1 = Ц-Р) = Ц1-Рп) = Х |
Вероятность отказа СМО есть предельная вероятность того, что все п каналов системы будут заняты, т. е.
Относительная пропускная способность — вероятность того, что заявка будет обслужена,
(6.89)
Среднее число занятых каналов к есть математическое ожидание числа занятых каналов:
П
K=o
Где Р — предельные вероятности состояний, определяемых по формулам (6.86), (6.87).
Однако среднее число занятых каналов можно найти проще, если учесть, что абсолютная пропускная способность системы А ест ь не что иное, как интенсивность потока обслуженных системой заявок (в единицу времени). Так как каждый занятый канал обслуживает в среднем i заявок (в единицу времени), то среднее число занятых каналов
K=A/[I (6.91)
1 |
(6.92) |
П |
Пример 3. Используя данные примера 2, определить оптимальное число печатных машин в типографии, если условием оптимальности считать удовлетворение в среднем из каждых 100 заявок не менее 95 заявок.
Решение. Интенсивность нагрузки канала ио_формуле (6.86) р = 0,1 /0,2 = =0,5, т. е. в течение производственного цикла = 5 ч поступает в среднем 0.5 заявки.
Характеристики СМО |
Будем постепенно увеличивать число каналов (печатных машин) п= 2, 3,4,… и определим по формулам (6.86), (6.89), (6.90) для получаемой re-канальной СМО характеристики обслуживания. Например, при п =2 Р0 = (1 + 0,5 + 0,52/2!)-1 = =0.615; Q= 1- (0,5У2!) 0,615 = 0,923; А = 0,1 0,923 — 0,0923. Для п= 3 Р{) = (1 + 0,5 + +0,5УЗ!)-‘ = 0,657; Q= 1- (0,53/3!) 0,657 = 0,986; /1 = 0,1 0,986 = 0,0986. Значение характеристик СМО сведем в табл. 6.4.
Таблица 6.4
|
По условию оптимальности ^ 0,95, следовательно, в типографии необходимо установить три печатные машины (в этом случае <2= 0,986 — см. табл. 6.4). При этом в час будут обслуживаться в среднем 0,0986 заявки
{А = 0,0986), а среднее число занятых печатных машин (каналов) по формуле (6.91) к = 0,0986/0,2 = 0.493.
Пример 4. В дизайн-бюро по проектированию упаковки с тре мя АРМ поступают заказы от предприятий на проектные работы. Если работают все три ЭВМ то вновь поступающий заказ не принимается и предприятие вынуждено обратиться в другое дизайн-бюро. Среднее время работы с одним заказом составляет 3 ч. Интенсивность потока заявок 0,25 ч Найти предельные вероятности состояний и показатели эффективности работы дизайн-бюро.
Решение По условию п = 3, А. = 0 25 ч-1, = 3 ч. Интенсивность потока обслуживания |i= 1 F6 = 1/3 = 0.33 Интенсивность нагрузки ЭВМ по формуле (6.83) р =0.25/0,33°- 0,75.
Найдем предельные вероятности состояний.
Поформуле(6.86)/>=(1+0,75+0,75у2’+0,75я/3!) = 0,476;ио формуле (6.87) Ру = 0,75-0,476 — 0,357; Р={0,752/2!)-0,476 = 0,134; Р= (0,75УЗ!)0,476 = 0,033, т. е. в стационарном режиме работы дизайн-бюро в среднем 47,6% времени нет ни одной заявки 35,7% — имеется одна заявка (занята одна ЭВМ), 13,4% — дис заявки (две ЭВМ). 3,3% времени — три заявки (заняты три ЭВМ)
Вероятность отказа (когда заняты все три ЭВМ), таким образом. Г — Ps -0,033
По формуле (6.89) относительная пропускная способность центра Q= 1 — 0,033 = 0,967, т. е. в среднем из каждых 100 заявок дизайн-бюро обслуживает 96,7 заяики,
По формуле (6.90) абсолютная пропускная способность дизаин-бюро А = 0,25 0,967 = 0.212, т. е. в час в среднем обслуживается 0.242 заявки.
По формуле (6.91) среднее число занятых ЭВМ k10,242/ 0,33 = 0,725, т. е. каждая из трех ЭВМ будет занята обслуживанием заявок в среднем лишь на 72,5/3 = 24,2%.
При оценке эффективности работы дизайн бюро необходимо сопоставить доходы от выполнения заявок с потерями ог простоя дорогостоящих ЭВМ (с одной ст ороны, высокая пропускная способное! ь СМО, а с другой — значительный простой каналов обслуживания) и выбрать компромиссное решение.