В качестве показателей эффективности СМО с отказами будем рассматривать: А — абсолютную пропускную способность СМО, т. е. сред­нее число заявок, обслуживаемых в единицу времени; Q-относитель­Ную пропускную способность, т. е. среднюю долю пришедших заявок, обслуживаемых системой; F — вероятность отказа, т. е. того, что заявка п окинет СМО необслуженной; к — среднее число запятых каналов (для мно — гоканальной системы).

Одноканальная система с отказами. Рассмотрим задачу. Имеется один канал, на который поступает поток заявок с интенсивностью X. Поток обслуживания имеет интенсивность ja. Здесь и в дальнейшем
предполагается, что все потоки событий, переводящие ( МО из со­стояния в состояние, будут простейшими. К ним относится и поток обслуживания — поток заявок, обслуживаемых одним непрерывно занятым каналом. Среднее время обслуживания /о£ обратно по вели­чине интенсивности р., те /об = 1/jx.

Найти предельные вероятности состоянии системы и показатели се эффективности.

Система S (СМО) имеет два состояния: $() — канал свободен, — капал занят. Размеченный граф сос тояний представлен на рис. 6.14.

		Л
				1.
		Ц

Рис. 6 14. Граф одноканальной СМО с отказами

В предельном стационарном режиме система алгсбраическихурав — нсний для вероятностей состояний имеет вид

(6.79)

Предельные вероятности состоянии

М „ X

1 =

Которые выражают среднее относительное время пребывания сис­темы в состоянии 5 (когда канал свободен) и »S, (когда канал занят), т. е. определяют соответственно относительную пропускную способ­ность Qсистемы и вероятность отказа F:

И

Х + ц’

(6.81)

F = R =

(6.82)

X Х + Jx

Абсолютную Пропускную способность найдем, умножив относитель­ную пропускную способность QhА ин тенсивность потока отказов:

Ар,

А-

ATI

Пример 2. Пусть заявки на полиграфические работы при производстве упаковки поступают с интенсивностью X, равной 0,1 заявки в час, а средняя продолжительность производственного цикла составляет t = 5 ч Опреде­лить показатели эффективности работы СМО (типографии) при наличии одной печатной машины.

Решение. Имеем X = 0,1 (1/ч), T^ =5 ч. Интенсивность потока обслужива­ния 1/5 ч"1 = 0,2 ч-1.

По формуле (6.81) относительная пропускная способность СМО Q= 0,2/(0,1+ 0,2) — 0,66, т. е. в среднем только 66% поступающих заявок могут быть выполнены. Соответственно вероятность отказа по формуле (6.82) в обслуживании составит F= 0,34.

Абсолютная пропускная способность СМО по формуле (6.83) А = 0,1-0,66 = =0,066, т. е. в среднем в час будут обслужены 0,066 заявки. Очевидно, что при наличии только одной печатной машины СМО будет неудовлетворительно справляться с потоком заявок.

Многоканальная система с отказами. Рассмотрим классическую Задачу Эрланга (А. К. Эрланг — датский инженер, математик конца XIX — начала XX в.). Имеется п каналов, на которые поступает по­ток заявок с интенсивностью X. Поток обслуживания имеет интен­сивность ц. Найти предельные вероятности состояний системы и показатели се эффективности.

Система S (СМО) имеет следующие состояния (нумеруем их но числу заявок, находящихся в системе): S, где Sk — со­

Стояние системы, когда в ней находится к заявок, т. е. занято к кана­лов. Граф состояний СМО соответствует процессу гибели и размно­жения (рис. 6.15).

	X		X		К х		X Я
So		SI						А’п
	М		2Ц		Зц кк		"Lt

Рис. 6 15 Граф состояний многоканальной СМО с отказами

Поток заявок последовательно переводит систему из любого лево­го состояния в соседнее правое с одной и той же интенсивностью X. Интенсивность же потока обслуживания, переводящего систему из любого правого состояния в соседнее левое, постоянно меняется в за­висимости от состояния. Действительно, если СМО находится в состо­янии S2 (два канала заняты), то она может перейти в состояние (один канал занят), когда закончит обслуживание либо первый, либо второй канал, т. е. суммарная интенсивность их потоков обслуживания будет 2ц Аналогично суммарный поток обслуживания, переводящий СМО из
состояния S^ (три канала заняты) в S2, будет иметь интенсивность Зц, г. е. может освободиться любой из грех каналов и т. д.

Для схемы гибели и размножения получим для предельной веро­ятности состояния

А"

^0 =

, А А*

+ …+

(6.84)

1 +—+- Г — + …+

Ц 2!piz п\лп

Где члены разложения А/р., А2/(2! ц2), … , Ап(гг1 ц") будут представ­лять собой коэффициенты при Р0 в выражениях для предельных ве­роятностей Р, Ру …, Рк, … , Рп. Величина

Р = А/ц (6.85)

Называется приведенной интенсивностью потока заявок или интенсивнос­тью нагрузки канала. Она выражает среднее число заявок, приходя­щее за среднее время обслуживания одной заявки. Тогда

‘ Р2 Р* Р" Vl

Ро =

(6.86)

K

9!

1 + Р + — + … + — + … + ■

П

2 Л я

(6.87)

Р — пР р-1_р р = i—р р =£_р 2! ft! п

Формулы (6.86) и (6.87) для предельных вероятностей получили названия формул Эрлангаъ честь основателя теории массового обслу­живания.

П

П

(

(6.90) 221

Абсолютная пропускная способность А = Х(1 = Ц-Р) = Ц1-Рп) = Х

Вероятность отказа СМО есть предельная вероятность того, что все п каналов системы будут заняты, т. е.

(6.88)

Относительная пропускная способность — вероятность того, что заявка будет обслужена,

(6.89)

Среднее число занятых каналов к есть математическое ожидание числа занятых каналов:

П

K=o

Где Р — предельные вероятности состояний, определяемых по фор­мулам (6.86), (6.87).

Однако среднее число занятых каналов можно найти проще, если учесть, что абсолютная пропускная способность системы А ест ь не что иное, как интенсивность потока обслуженных системой заявок (в еди­ницу времени). Так как каждый занятый канал обслуживает в среднем i заявок (в единицу времени), то среднее число занятых каналов

K=A/[I (6.91)

Или, учитывая (6.90), (6.85):

1

(6.92)

П

К =А/х = р

Пример 3. Используя данные примера 2, определить оптимальное число печатных машин в типографии, если условием оптимальности считать удов­летворение в среднем из каждых 100 заявок не менее 95 заявок.

Решение. Интенсивность нагрузки канала ио_формуле (6.86) р = 0,1 /0,2 = =0,5, т. е. в течение производственного цикла = 5 ч поступает в среднем 0.5 заявки.

Характеристики СМО

Будем постепенно увеличивать число каналов (печатных машин) п= 2, 3,4,… и определим по формулам (6.86), (6.89), (6.90) для получаемой re-канальной СМО характеристики обслуживания. Например, при п =2 Р0 = (1 + 0,5 + 0,52/2!)-1 = =0.615; Q= 1- (0,5У2!) 0,615 = 0,923; А = 0,1 0,923 — 0,0923. Для п= 3 Р{) = (1 + 0,5 + +0,5УЗ!)-‘ = 0,657; Q= 1- (0,53/3!) 0,657 = 0,986; /1 = 0,1 0,986 = 0,0986. Значе­ние характеристик СМО сведем в табл. 6.4.

Таблица 6.4 Характеристика обслуживания Число каналов (печатных машин) 1 2 3 Относительная пропускная способность Q 0,66 0,923 0,986 Абсолютная пропускная способность А 0,066 0,0923 0,0986

По условию оптимальности ^ 0,95, следовательно, в типографии необходимо установить три печатные машины (в этом случае <2= 0,986 — см. табл. 6.4). При этом в час будут обслуживаться в среднем 0,0986 заявки
{А = 0,0986), а среднее число занятых печатных машин (каналов) по форму­ле (6.91) к = 0,0986/0,2 = 0.493.

Пример 4. В дизайн-бюро по проектированию упаковки с тре мя АРМ по­ступают заказы от предприятий на проектные работы. Если работают все три ЭВМ то вновь поступающий заказ не принимается и предприятие вы­нуждено обратиться в другое дизайн-бюро. Среднее время работы с одним заказом составляет 3 ч. Интенсивность потока заявок 0,25 ч Найти пре­дельные вероятности состояний и показатели эффективности работы ди­зайн-бюро.

Решение По условию п = 3, А. = 0 25 ч-1, = 3 ч. Интенсивность потока обслуживания |i= 1 F6 = 1/3 = 0.33 Интенсивность нагрузки ЭВМ по формуле (6.83) р =0.25/0,33°- 0,75.

Найдем предельные вероятности состояний.

Поформуле(6.86)/>=(1+0,75+0,75у2’+0,75я/3!) = 0,476;ио формуле (6.87) Ру = 0,75-0,476 — 0,357; Р={0,752/2!)-0,476 = 0,134; Р= (0,75УЗ!)0,476 = 0,033, т. е. в стационарном режиме работы дизайн-бюро в среднем 47,6% времени нет ни одной заявки 35,7% — имеется одна заявка (занята одна ЭВМ), 13,4% — дис заявки (две ЭВМ). 3,3% времени — три заявки (заняты три ЭВМ)

Вероятность отказа (когда заняты все три ЭВМ), таким образом. Г — Ps -0,033

По формуле (6.89) относительная пропускная способность центра Q= 1 — 0,033 = 0,967, т. е. в среднем из каждых 100 заявок дизайн-бюро обслуживает 96,7 заяики,

По формуле (6.90) абсолютная пропускная способность дизаин-бюро А = 0,25 0,967 = 0.212, т. е. в час в среднем обслуживается 0.242 заявки.

По формуле (6.91) среднее число занятых ЭВМ k10,242/ 0,33 = 0,725, т. е. каждая из трех ЭВМ будет занята обслуживанием заявок в среднем лишь на 72,5/3 = 24,2%.

При оценке эффективности работы дизайн бюро необходимо сопоста­вить доходы от выполнения заявок с потерями ог простоя дорогостоящих ЭВМ (с одной ст ороны, высокая пропускная способное! ь СМО, а с другой — значительный простой каналов обслуживания) и выбрать компромиссное решение.

СИСТЕМЫ АВТОМАТИЗИРОВАННОГО ПРОЕКТИРОВАНИЯ УПАКОВОЧНОГО ПРОИЗВОДСТВА

Использование специализированных САПР в допечатной стадии производства упаковки

Важным этапом произволе тва упаковки является доиечатный про­цесс. Качество готовой упаковки в значительной степени определя­ется допечатной стадией — дизайном. Можно утверждать, что конку­рентоспособность производителя полиграфической продукции оп­ределяется уровнем дизайна, который не в последнюю очередь зави­сит от программ ных с редств. Ксли вспомнить эволюцию систем допечатной подготовки, то можно отметить следующие закономерности Вначале применялись закрытые системы […]

Симплексный метод

Геометрическая интерпретация симплексного метода. В т еории линейного программирования рассмотрены основные теоремы ли­нейного программирования, из которых следует, что если задача ли­нейного программирования имеет оптимальное решение, то оно со­ответствует хотя бы одной угловой точке многогранника решений и совпадает по крайней мере с одним из допустимых базисных реше­ний системы ограничений. Там же указан путь решения любой зада­чи […]

Математическое обеспечение подсистем машинной графики и геометрического моделирования

Изучение математического аппарата, лежащего в основе машин­ной графики и проектирования геометрии упаковки, начнем с рассмот­рения способов вывода и преобразования точек и линий. Эти спосо­бы наряду с соответствующими алгоритмами рисования используют­ся для изображения объектов или визуализации графической инфор­мации. Возможность проводить преобразования точек и линий явля­ется фундаментом машинной графики. Нарисованный объект может быть представлен в нужном масштабе, […]