СМО с ожиданием (очередью)
В качестве показателей эффективности СМО с ожиданием кроме уже известных показателей — абсолют ной А и относительной £) пропускной способности, вероятности отказа Г’, среднего числа занятых каналов к (для многоканальной системы) будем рассматриват ь также следующие; L^ — среднее число заявок ь системе, Тм~ среднее время пребываНия заявки в системе, L л — среднее число заявок в очереди (длина очереди); 7 — среднее время пребывания Заявки в очереди; Р { — вероятность того, что Канал занят (степень загрузки капала).
Одноканальная система с неограниченной очередью. На практи ке часто встречаются одш жанальные СМО с неограниченной очередью (например, телефон-автомат с одной будкой). Рассмотрим задачу.
|
И |
Имеется одноканальная СМО с очередью, на которую не начоже — ны никакие ограничения (ни по длине очереди, ни но времени ожи дания). Поток заявок, поступающих в СМО, имеет интенсивность X, а поток обслуживания — интенсивность ц. Необходимо найти предельные вероятности состояний и пока »атели эффективности СМО Система может находиться в одном из состояний 60, S,, S0,…Y Sk,…. Но числу заявок в СМО: |S0 — канал свободен; S — канал занят (обслуживает заявку), очереди нет; ^ — канал занят, одна заявка стоит в очереди* — канал занят, (k — 1) заявок стоят в очереди и т. д. Граф состояний СМО представлен на рис. 6.16,
|
X |
X |
X |
|||
|
So |
S |
J* |
|||
|
И |
И |
1 |
|
Рис. 6.16. Граф состояний одноклнальной СМО с не< ограниченной очередью |
Это процесс гибели и размножения, но с бесконечным числом состояний, в котором интенсивность потока заявок равна X, а интенсивность потока обогуживания р.
Прежде чем записать формулы предельных вероятностей, необходимо быть уверенным в их существовании, ведь в том случае, когда время о, очередь может неограниченно возраст ать. Доказано, что если р< 1, т. е. среднеечисяо приходящих зияет мсиьше сред него числа обслуженных заявок (в единицу времени), то предв, гьные вероятности существуют Если р > 1, то ичередь растет до бесконечности.
Для определения предельных вероятностей состояний воспользуемся формулами для процесса гибели и размножения. Получим
|
-I |
|
2 |
|
T X (X 1+ -+ |
|
K— |
|
+ …+ |
|
(6 93) |
|
И |
= (1+р+ + …+ р*)
Так как предельные вероятности существуют лишь при р < 1, то геометрический ряд со знаменателем р < 1, записанный в скобках в формуле (6.93), сходится к сумме, равной 1/(1+ р). Поэтому
(6.94)
И с учетом соотношений (6.78)
— Р/у, /2 = р —Р /Jj,
Найдем предельные вероятности других состояний
Р] =р(1-р). =Р2(1-Р), …. =Р*(1-Р), (6.95)
Предельные вероятности /5(), Р,…, … образуют убывающую геометрическую прогрессию со знаменателем р < 1, следовательно, вероятность Р — наибольшая. Это означает, что если СМО справляется с потоком заявок (при р < 1), то наиболее вероятным будет отсутствие заявок в системе.
Среднее число заявок в системе определим но формуле математического ожидания, которая с учетом (6.95) примет вид
4r = Ј«i=(i-P)iv (6,96)
(суммирование от 1 до оо, так как нулевой член О Р0 = 0).
Можно показать, что формула (6.96) преобразуется (при р < 1) к виду
4с = Р/а+Р). (6 97)
Найдем среднее число заявок в очереди Очевидно, что
Где L — среднее число заявок, находящихся под обслуживанием.
Среднее число заявок под обслуживанием определим по формуле математического ожидания числа заявок иод обслуживанием, принимающего значения 0 (если канал свободен) либо 1 (если канал занят):
Т. е. среднее число заявок под обслуживанием равно вероятности того, что канал занят:
С учетом (6.94)
По формуле (6.98) с учетом (6.97) и (6.100)
4оЧ= P’V(I-P). (6.Ю1)
Доказано, что при любом характере потока заявок, при любом распределении времени обслуживания, при любой дисциплине обслуживания среднее время пребывания заявки в системе (очереди) равно среднему числу заявок в системе (в очереди), деленному на интенсивность потока заявок, т. е.
Tx=(l/X)Lx, (6.102)
T„ =(1 /X)L^. (6.103)
Формулы (6.102) и (6.103) называются формуламиЛиттла. Они вытекают из того, что в предельном, стационарном режиме среднее число заявок, прибывающих в систему, равно среднему числу заявок, покидающих еег. Оба потока заявок имеют одну и ту же интенсивность А,.
А среднее время пребывания заявки в очереди
Пример 5. В типографии имеется ремонтный цех (РМЦ). Интенсивность потока заявок на ремонтное обслуживание равна 0,4 единицы оборудования в смену. Среднее время ремонта одной единицы оборудования составляет две смены. Предполагается, что очередь может быть неограниченной длины. Найти показатели эффективности работы РМЦ.
Решение. Имеем р = Х/ц = X T^ = 0,4 2 = 0,8. Так как р = 0,8 < 1, то очередь на ремонтные работы не может бесконечно возрастать и предельные вероятности существуют. Найдем их.
Вероятность того, что РМЦ свободен, по формуле (6.94) Р0= 1 — 0,8 = 0,2, а вероятность того, что он занят, Р = 1 — 0,2 = 0,8. По формуле (6.95) вероятности того, что на обслуживании РМЦ находятся 1, 2, 3 единицы оборудования (т. е. ожидают ремонта 0, 1, 2 единицы оборудования), равны Р, = 0,8 (1 — 0,8) = 0,16; Р2 = 0,82 (1 — 0,8) = 0,128; Р$ = 0,83 (1 — 0,8) = 0,1024.
По формуле (6.101) среднее число единиц оборудования, ожидающих ремонта, = 0,8’2 (1 — 0,8) = 3,2, а среднее время ожидания ремонта по формуле (6.103) V, = 3,2/0,8 = 4 смены.
По формуле (6.97) среднее число единиц оборудования, находящихся на обслуживании РМЦ, Lm = 0,8/ (1 — 0,8) = 4 или проще по (6.98) Lc = 3,2 + 0,8 = 4, а среднее время пребывания единицы оборудования на обслуживании РМЦ по формуле (6.102) Тж = 4/0,8 = 5 смен.
Очевидно, что эффективность ремонта оборудования невысокая. Для ее повышения необходимо уменьшить среднее время ремонта оборудования 1Ы/
Многоканальная СМО с неограниченной очередью. Рассмотрим задачу. Имеется N-канальная СМО с неограниченной очередью. Поток заявок, поступающих в СМО, имеет интенсивность А, а поток
обслуживания — интенсивность ц. Необходимо найти предельные вероятности состояний СМО и показатели ее эффективности.
Система может находиться в одном из состояний S , 5 , S,…, Sk, …, Sny … нумеруемых по числу заявок в СМО — в системе нет заявок (все каналы свободны); S, — занят один канал, остальные свободны; S — занятьг два канала, остальные свободны; Sk — занято к ка налов, остальные свободны; 5я — заняты все п каналов (очереди нет);
— заняты все п каналов, в очереди одна заявка, S tr— заняты все п каналов, г заявок стоит в очереди.
|
А |
^п+г |
X |
|
* |
Граф состояний системы представлен на рис. 6 17. Обратим внимание на то, что в отличие от предыдущей СМО ишенсивносгь потока обслуживания (переводящего систему из одного состояния в друг ое справа налево) не остается постоянной, а по мере увеличения числа заявок в СМО от 0 до п увеличиваетг. я от ц до яц, так как соответственно увеличивается число каналов обслуживания. При числе заявок в СМО большем, чем п, интенсивность потока обслуживания сохраняется равной ni.
Вероятность того, что заявка окажется в очереди,
Pn+1
Для n-канальной СМО с неограниченной очередью, используя прежние приемы, можно найти:
Среднее число занятых каналов
K=X/I = р, (6.110)
Среднее число заявок в очереди
Рп+1
Среднее число заявок в системе
Среднее время пребывания заявки в очереди и среднее время пребывания заявки в системе, как и ранее, находятся по формулам Лит — тла (6.103) и (6.102).
Для СМО с неограниченной очередью при р < 1 любая заявка, пришедшая в систему, будет обслужена, т. е. вероятность отказа F= 0, относительная пропускная способность Q= 1, а абсолютная пропускная способность равна интенсивности входящего потока заявок, т. е. А = X.