Женская грудь - идеальная упаковка для молока!

СМО с ожиданием (очередью)

В качестве показателей эффективности СМО с ожиданием кроме уже известных показателей — абсолют ной А и относительной £) про­пускной способности, вероятности отказа Г’, среднего числа занятых каналов к (для многоканальной системы) будем рассматриват ь также следующие; L^ — среднее число заявок ь системе, Тм~ среднее время пребыва­Ния заявки в системе, L л — среднее число заявок в очереди (длина очереди); 7 — среднее время пребывания Заявки в очереди; Р { — вероятность того, что Канал занят (степень загрузки капала).

Одноканальная система с неограниченной очередью. На практи ке часто встречаются одш жанальные СМО с неограниченной очередью (например, телефон-автомат с одной будкой). Рассмотрим задачу.

И

Имеется одноканальная СМО с очередью, на которую не начоже — ны никакие ограничения (ни по длине очереди, ни но времени ожи дания). Поток заявок, поступающих в СМО, имеет интенсивность X, а поток обслуживания — интенсивность ц. Необходимо найти пре­дельные вероятности состояний и пока »атели эффективности СМО Система может находиться в одном из состояний 60, S,, S0,…Y Sk,…. Но числу заявок в СМО: |S0 — канал свободен; S — канал занят (обслу­живает заявку), очереди нет; ^ — канал занят, одна заявка стоит в оче­реди* — канал занят, (k — 1) заявок стоят в очереди и т. д. Граф состояний СМО представлен на рис. 6.16,

X

X

X

So

S

J*

И

И

1

Рис. 6.16. Граф состояний одноклнальной СМО с не< ограниченной очередью

Это процесс гибели и размножения, но с бесконечным числом состояний, в котором интенсивность потока заявок равна X, а интен­сивность потока обогуживания р.

Прежде чем записать формулы предельных вероятностей, необ­ходимо быть уверенным в их существовании, ведь в том случае, когда время о, очередь может неограниченно возраст ать. Доказано, что если р< 1, т. е. среднеечисяо приходящих зияет мсиьше сред него числа обслу­женных заявок (в единицу времени), то предв, гьные вероятности существу­ют Если р > 1, то ичередь растет до бесконечности.

Для определения предельных вероятностей состояний восполь­зуемся формулами для процесса гибели и размножения. Получим

-I

2

T X (X 1+ -+

K

+ …+

(6 93)

И

= (1+р+ + …+ р*)

Так как предельные вероятности существуют лишь при р < 1, то геометрический ряд со знаменателем р < 1, записанный в скобках в формуле (6.93), сходится к сумме, равной 1/(1+ р). Поэтому

(6.94)

И с учетом соотношений (6.78)

— Р/у, /2 = р —Р /Jj,

Найдем предельные вероятности других состояний

Р] =р(1-р). =Р2(1-Р), …. =Р*(1-Р), (6.95)

Предельные вероятности /5(), Р,…, … образуют убывающую гео­метрическую прогрессию со знаменателем р < 1, следовательно, ве­роятность Р — наибольшая. Это означает, что если СМО справляет­ся с потоком заявок (при р < 1), то наиболее вероятным будет отсут­ствие заявок в системе.

Среднее число заявок в системе определим но формуле мате­матического ожидания, которая с учетом (6.95) примет вид

4r = Ј«i=(i-P)iv (6,96)

(суммирование от 1 до оо, так как нулевой член О Р0 = 0).

Можно показать, что формула (6.96) преобразуется (при р < 1) к виду

4с = Р/а+Р). (6 97)

Найдем среднее число заявок в очереди Очевидно, что

(6.98)

Где L — среднее число заявок, находящихся под обслуживанием.

Среднее число заявок под обслуживанием определим по формуле математического ожидания числа заявок иод обслуживанием, прини­мающего значения 0 (если канал свободен) либо 1 (если канал занят):

0/?, + 1(1-/>„),

Т. е. среднее число заявок под обслуживанием равно вероятности того, что канал занят:

4,Л =Р.» =1-^0- (6.99)

С учетом (6.94)

4ос = ^,=Р — (6-100)

По формуле (6.98) с учетом (6.97) и (6.100)

4оЧ= P’V(I-P). (6.Ю1)

Доказано, что при любом характере потока заявок, при любом распреде­лении времени обслуживания, при любой дисциплине обслуживания среднее время пребывания заявки в системе (очереди) равно среднему числу заявок в системе (в очереди), деленному на интенсивность потока заявок, т. е.

Tx=(l/X)Lx, (6.102)

T =(1 /X)L^. (6.103)

Формулы (6.102) и (6.103) называются формуламиЛиттла. Они вы­текают из того, что в предельном, стационарном режиме среднее число зая­вок, прибывающих в систему, равно среднему числу заявок, покидающих еег. Оба потока заявок имеют одну и ту же интенсивность А,.

На основании формул (6.102) и (6.103) с учетом (6.97) и (6.101) сред­нее время пребывания заявки в системе определится по формуле

А среднее время пребывания заявки в очереди

Пример 5. В типографии имеется ремонтный цех (РМЦ). Интенсивность потока заявок на ремонтное обслуживание равна 0,4 единицы оборудования в смену. Среднее время ремонта одной единицы оборудования составляет две смены. Предполагается, что очередь может быть неограниченной дли­ны. Найти показатели эффективности работы РМЦ.

Решение. Имеем р = Х/ц = X T^ = 0,4 2 = 0,8. Так как р = 0,8 < 1, то очередь на ремонтные работы не может бесконечно возрастать и предельные вероят­ности существуют. Найдем их.

Вероятность того, что РМЦ свободен, по формуле (6.94) Р0= 1 — 0,8 = 0,2, а вероятность того, что он занят, Р = 1 — 0,2 = 0,8. По формуле (6.95) веро­ятности того, что на обслуживании РМЦ находятся 1, 2, 3 единицы обо­рудования (т. е. ожидают ремонта 0, 1, 2 единицы оборудования), равны Р, = 0,8 (1 — 0,8) = 0,16; Р2 = 0,82 (1 — 0,8) = 0,128; Р$ = 0,83 (1 — 0,8) = 0,1024.

По формуле (6.101) среднее число единиц оборудования, ожидающих ремонта, = 0,8’2 (1 — 0,8) = 3,2, а среднее время ожидания ремонта по фор­муле (6.103) V, = 3,2/0,8 = 4 смены.

По формуле (6.97) среднее число единиц оборудования, находящихся на обслуживании РМЦ, Lm = 0,8/ (1 — 0,8) = 4 или проще по (6.98) Lc = 3,2 + 0,8 = 4, а среднее время пребывания единицы оборудования на обслуживании РМЦ по формуле (6.102) Тж = 4/0,8 = 5 смен.

Очевидно, что эффективность ремонта оборудования невысокая. Для ее повышения необходимо уменьшить среднее время ремонта оборудования 1Ы/

Многоканальная СМО с неограниченной очередью. Рассмотрим задачу. Имеется N-канальная СМО с неограниченной очередью. По­ток заявок, поступающих в СМО, имеет интенсивность А, а поток
обслуживания — интенсивность ц. Необходимо найти предельные вероятности состояний СМО и показатели ее эффективности.

Система может находиться в одном из состояний S , 5 , S,…, Sk, …, Sny … нумеруемых по числу заявок в СМО — в системе нет заявок (все каналы свободны); S, — занят один канал, остальные сво­бодны; S — занятьг два канала, остальные свободны; Sk — занято к ка налов, остальные свободны; 5я — заняты все п каналов (очереди нет);

— заняты все п каналов, в очереди одна заявка, S tr— заняты все п каналов, г заявок стоит в очереди.

А

^п+г

X

*

Граф состояний системы представлен на рис. 6 17. Обратим вни­мание на то, что в отличие от предыдущей СМО ишенсивносгь по­тока обслуживания (переводящего систему из одного состояния в друг ое справа налево) не остается постоянной, а по мере увеличения числа заявок в СМО от 0 до п увеличиваетг. я от ц до яц, так как соот­ветственно увеличивается число каналов обслуживания. При числе заявок в СМО большем, чем п, интенсивность потока обслуживания сохраняется равной ni.

Вероятность того, что заявка окажется в очереди,

Pn+1

Для n-канальной СМО с неограниченной очередью, используя прежние приемы, можно найти:

Среднее число занятых каналов

K=X/I = р, (6.110)

Среднее число заявок в очереди

Рп+1

4оч тт: Ч2 ^о» (6.111)

Среднее число заявок в системе

4с=4оч+Р — (6-112)

Среднее время пребывания заявки в очереди и среднее время пре­бывания заявки в системе, как и ранее, находятся по формулам Лит — тла (6.103) и (6.102).

Для СМО с неограниченной очередью при р < 1 любая заявка, при­шедшая в систему, будет обслужена, т. е. вероятность отказа F= 0, отно­сительная пропускная способность Q= 1, а абсолютная пропускная спо­собность равна интенсивности входящего потока заявок, т. е. А = X.

Leave a Reply

Name (required)


Mail (required)


Website



СИСТЕМЫ АВТОМАТИЗИРОВАННОГО ПРОЕКТИРОВАНИЯ УПАКОВОЧНОГО ПРОИЗВОДСТВА

Решение задачи СМО с использованием системы MathCAD

Решим задачу СМО, приведенную в примере 4, с использованием системы MathCAD. Ввод текста на всех этапах решения задачи осуществляют с помо­щью комбинаций клавиш «Shift + "» , что позволяет создать тексто­вую область. Введем на рабочем листе первый пункт расчета: 1. Задание исходных данных. Затем последовательно введем исходные данные в поле экрана (рис. 6.18): X -0.25 […]

Использование специализированных САПР в допечатной стадии производства упаковки

Важным этапом произволе тва упаковки является доиечатный про­цесс. Качество готовой упаковки в значительной степени определя­ется допечатной стадией — дизайном. Можно утверждать, что конку­рентоспособность производителя полиграфической продукции оп­ределяется уровнем дизайна, который не в последнюю очередь зави­сит от программ ных с редств. Ксли вспомнить эволюцию систем допечатной подготовки, то можно отметить следующие закономерности Вначале применялись закрытые системы […]

Симплексный метод

Геометрическая интерпретация симплексного метода. В т еории линейного программирования рассмотрены основные теоремы ли­нейного программирования, из которых следует, что если задача ли­нейного программирования имеет оптимальное решение, то оно со­ответствует хотя бы одной угловой точке многогранника решений и совпадает по крайней мере с одним из допустимых базисных реше­ний системы ограничений. Там же указан путь решения любой зада­чи […]