Моделирование случайных величин
В основе всех методов и приемов моделирования случайных факторов лежит использование случайных чисел, имеющих равномерное распределение в интервале [0, 1]. Используются три основных способа генерации случайных величин: аппаратный (физический), табличный (файловый) и алгоритмический (программный).
При аппаратном способе реализации случайные или «истинно» случайные числа вырабатываются специальной электронной приставкой — аналого-цифровым преобразователем, являющимся одним из внешних устройств ЭВМ. Случайные числа формируются с помощью сигналов физических генераторов, использующих естественные пер вичные источники шумов электронных и полупроводниковых устройств, явления распада радиоактивных элементов и т. д. Достоинством данного способа является отсутствие дополнительных вычислительных операций ЭВМ по выработке случайных чисел, необходи ма только операция обращения к внешнему устройству (датчику). Однако аппаратный способ не позволяет повторно получить при моделировании одинаковые последовательности чисел.
Табличный способ генерации случайных чисел заключается в предварительном формировании таблицы чисел и файла с массивом этих чисел, помещении файла во внешнюю или оперативную помять ЭВМ и вызове числа из памяти. Этот способ рационально использовать при сравнительно небольшом объеме таблицы и соответственно файла с массивом чисел, когда для хранения можно использовать оперативную память. Хранение файла во внешней памяти при частом обращении в процессе моделирования нерационально, так как это увеличивает затраты машинного времени.
Алгоритмический способ заключается в генерации случайных чисел с помощью специального алгоритма или программы на ЭВМ. Числа, формируемые этим способом, называются псевдослучайными, так как хотя они и вырабатываются с помощью детерминированных рекурсивных формул, их статистические свойства совпадают со статистическими свойствами чисел, генерированных идеальными механизмами, выбирающими числа из интервала [0,1] независимой с равной вероятностью. В состав математического обеспечения современных ЭВМ входят специальные программы генерации (датчики) псевдослучайных чисел. С помощью генератора псевдослучайных чисел можно многократно воспроизводить последовательности чисел. Он мало занимает мес га в памяти ЭВМ и не требует использования внешних источников. К недостаткам алгоритмического способа следует отнести то, что запас чисел последовательности ограничен ее периодом, а также значительные затраты машинного времени.
Основными методами моделирования непрерывных случайных величин с заданным законом распределения являются методы нелинейных преобразований, исключения (метод Неймана) и композиций.
Из методов нелинейных преобразований наиболее широко используют метод обратной функции, основанный на следующем положении: случайная непрерывная величина t с функцией распределения /^связана со случайной величиной г, равномерно распределенной в интервале [0, 1], соотношением
T = F~r),
Где F] — обратная функция относительно F.
Например, случайную величину T с экспоненциальным законом распределения F(t) = 1 — exp (-А, t) можно моделировать, используя обратное преобразование:
T = -(l/A)ln(l-r) ~ / = ~(/Х)п (г),
Где X — интенсивность события.
Однако обратные преобразования существуют только для небольшого числа законов распределения со сравнительно простыми, выраженными в конечных квадратурах функциями распределения. Поэтому применение метода обратной функции ограничено.
Метод исключения основан на следующем положении: реализация случайной величины имеющей плотность J{t), является реализацией случайной величины х, имеющей плотность g(x) в том случае, если отношение этих плотностей вероятностей ограничено сверху величиной М:
G(x)/f(t)<M<Оо и M-r<g(t)/f(t), (6.27)
Где г— реализация случайной величины, имеющей равномерное распределение в интервале [0, 1].
Метод исключения состоит в последовательной генерации пар случайных чисел {Г, г} и проверке условия (6.27). Если условие вы-
нолняется, то случайное число t принимается как реализация моделируемой случайной величины х; если не выполняется, то генерируется следующая пара чисел т^,} и процесс повторяется.
Среднее число повторений, необходимых для генерации одного значения случайной величины х, равно 1 /М.
Метод исключения удобен для моделирования случайных величин, кривые плотности вероятностей которых не имеют пиков, т. е. М невелико и для получения приемлемого значения Jтребуется небольшое машинное время.
Метод композиции основан на теоремах теории вероятностей, доказывающих представимость одной случайной величины композициями (как правило, линейными) двух и большего числа других случайных величин, имеющих легкореализуемые законы распределения. Так, согласно центральной предельной теореме распределение случайной величины
V k
(6.28) |
_ 1=1 ^ ~ Yjk/12 ?
Где г — равномерно распределенные в интервале [0,1] случайные числа.
Величина z с ростом к неограниченно приближается к нормальному распределению с параметрами тг = 0 и = 1.
Выражение (6.28) для 12 широко используется для моделирования нормального закона распределения случайной величины L
В табл. 6.1 приведены алгоритмы получения случайных чисел с законами распределения, широко используемыми при проектировании технологии полиграфического и упаковочного производства.
Таблица 6.1 Алгоритмы получения случайных чисел
|
Продолжение табл. 6.1
Закон распре деления случайных чисел |
Мате матические выражения плотности рас п ре дел ей и я |
Алгор!Itm ре али заци й случайных чисел |
Нормальный с параметрами т и о |
(х Mf |
(12 4 Х-т-ьо /j -6 |
Логарифмически Нормальный с параметрами Тис |
(nx-mf F(x)= 2п2 х>0 о х |
Г ( 12 Х = ехр т + о YJ Ч ~ ® L Ы JJ |
Вейбулла с параметрами Р и Р |
Р |