Женская грудь - идеальная упаковка для молока!

Изображение и преобразование точек

У

В трехмерном. Матрица-

Изображение точек. Точка представляется на плоскости двумя своими координатами, которые определяются как элементы матри­цы размером 1×2 у]. В трехмерном пространстве используется матрица размером 1×3 [х у Z].

Иначе говоря, точка может задаваться в виде вектор-столбца

В двумерном пространстве или в виде
строка или матрица-столбец с координатами точки часто называют­ся координатным вектором.

Данное множество координат точки хранится в компьютере в виде матрицы или массива чисел. Положением точек можно управлять путем манипулирования соответствующей матрицей. Линии, соеди­няющие точки, формируют отрезки, кривые и картинки.

Преобразование точек на плоскости. Рассмотрим результаты ум­ножения матрицы Р= у], содержащей координаты точки Р> на мат-

А B


Размером 2×2:

С А

Рицу общего преобразования Т

А Ь с D

РТ = [х- у]

— [(ял — + су) (Ьх + Dy)] = [х * у*].


Данная запись означает, что исходные координаты точки х и у Преобразуются в л4* и у*, где л* = ах + су у* = Bx+ Dy.

Представляют интерес значения у* — координаты результиру­ющей, преобразованной точки Р.

Рассмотрим некоторые специальные случаи.

При AD= 1 и с= Ъ-0 преобразование сведется к единичной матрице

1 (Г

1уГ = [х у]

О 1

И координаты точки Ростанутся неизменными. Как и следовало ожи­дать, в линейной алгебре умножение на единичную матрицу эквива лен гно умножению на единицу в обычной алгебре. В случае d=, b = С= О

РТ = [х у]

А О

= [ах у] =[**/],

О 1

Где х* — ах- результат масштабирования координаты х. Рассмотрим другой случай: Ь= с = 0, т. е.

А О"

1>Т = [х у]

О D

Данное преобразование вызывает изменение обеих координат х и у вектора Р.

Если аФ D, то координаты масштабируются различным образом. При а= D> 1 происходит растяжение вектора Рили масштабирова­ние координат. Если 0<«=Й?<1,То имеет место сжатие.

Если значение а или dотрицательное, то вектор отражается отно­сительно координатных осей или относительно плоскости. Чтобы убедиться в этом, возьмем 6= с = О, D= 1 и а= 1, тогда

У] о =[-* ?]=[**Я.

И в результате получаем симметричное отражение относительно оси у.

Если Ь = с~ 0, а — 1, D = -1, то выполняется симметричное отраже­ние относительно оси х. Если Ь= с= 0, а = D< 0, то происходит отраже­ние относительно начала координат. Заметим, что обе операции от­ражения и масштабирование зависят только от диагональных членов матрицы преобразования.

Г*

Изображение и преобразование точек

Рис. 6.22. Поворот точки Р относительно начала координат

Х

Рассмотрим теперь случай с недиагональными членами. Возьмем сначала значения я=й?=1,с=0, тогда

Т = у] Q J =[х(Ьх + у)] = [х*у*.

Заметим, что координата х точки Р осталась неизменной, тогда как координата у* линейно зависит от исходных координат. Дан­ное преобразование называется сдвигом. Аналогично в случае, ког­да а = D= 1, Ь= 0, преобразование к сдвигу пропорционально коорди­нате у. Таким образом, видно, что недиагональные члены матрицы преобразования создают эффект сдвига координат вектора точки Р.

Поворот точки вокруг начала координат. Рассмотрим вектор по­ложения гот начала координат до точки Р (рис. 6.22). Обозначим г— длину вектора, а <р — угол между вектором и осыо х.

Вектор положения поворачивается вокруг начала координат на угол в и попадает в положение вектора т*, а точка Р — в положение точки Р*. Записав векторы положений Ри Р получаем

Р= [х у] = [rcosG rsinG]

И

Г* = [х* У*] = [rcos(<p + 0) rsin(<p + G)], Используя формулу косинуса суммы углов, перепишем выражение для Г* как

Р* = [х* у*] = [r(cos(p cosG-sincp sinG) r(cos<p sinB -sintp cosG)]. Используя определения хи у, можно переписать 7** как

Р* = [jc* у*] = [xcosQ — у sinG xsinG +ycos0]. Таким образом, преобразованная точка имеет координаты

Х* = arcosG — у sin6; У* = х sinG + у cosG

Или в матричном виде

CosO sinG Х* = ХТ=[х* у*] = [ху] .

-smG cosG

Итак, преобразование поворота точки вокру1 начала координат на произвольный угол G задается матрицей

T =

CosG

-sinG

SinG

CosG

= Т

Cos6 sinG — sinG cosG

Повороты считаются положительными, если они осуществляют­ся против часовой стрелки относительно точки вращения.

Предположим, что требуется возвратить точку Р* в точку Р, т. е. вы­полнить обратное преобразование — поворот г на угол G по часовой стрелке. Матрица для выполнения необходимого преобразования име­ет вид обратной матрицы 7м, равной транспонированной матрице 7Т:

Г

Cos(-G) sin(-G)

T~l =

-sin(-G) cos(-G)

Так как cos(-G) = cosG и sin(-G) = — sinG.

Однородные координаты. Во многих случаях при геометричес­ких преобразованиях возникает необходимость изменять положение начала координат, т. е. преобразовывать каждую точку плоскости. Этого можно достичь путем перемещения точки начала координат или любой другой точки на плоскости:

Х* = ах + су + т У* = Bx+ Dy + п.


К сожалению, нельзя ввести константы перемещения ти пнача ла координат в (2х2)-матрицу преобразования, так как это не про­странство.

Данное затруднение можно преодолеть, используя однородные ко­ординаты. Однородные координаты неоднородного координатного вектора f * у] представляют собой тройку 1*4′ И, где х= дс’/А. у-у’/А. а /г— некоторое вещественное число. Заметим, что случай h = 0 является особым. Всегда существует один набор однородных координат вида [х у 1]. Мы выбрали эту форму, чтобы представить координат­ный вектор [* у] на физическои плоскости ху. Все остальные однородные координаты представляются в виде f/wc hy h Данные ко­ординаты не сохраняют однозначности, например все следующие коор­динаты [6 4 2J, [12 8 4], [3 2 1] представляют физическую точку (3, 2).

Т —

Матрица преобразования для однородных координат имеет раз­мер 3×3. В частности,

A B О с D О Та п 1

Где действие элементов а, Ь, с и г/верхней части (2х2)-матрицы точно соответст вует действиям, рассмотренным ранее. Элементы M и 72 яв­ляются величинами перемещения в направлениях х и у соответствен­но. Полная трехмерная матрица преобразования имеет вид

= [х+ M у + п,

[х* у* 1] = [х у 1]

Отметим, что каждая точка плоскости и даже начало координат х = у = 0 теперь могут быть преобразованы.

Поворот вокруг произвольной точки. Ранее мы рассматривали вращение, совершаемое вокруг начата координат Однородные ко­ординаты предусматривают механизм выполнения поворотов вокруг точек, отличных от начала координат. В общем случае поворот вок­руг произвольной точки может быть реализован посредством ее перемещения в начало координат, выполнения требуемого поворо­та и последующего перемещения результата обратно в исходный цен тр вращения. Таким образом, поворот вектора [х у 1] вокруг точ­ки (га, п) на произвольный угол можно осуществить в виде

1

О о-

COS0

SmO

0

"1

0

0

Гх* у* 1] = [х у 1]

0

1 0

-sinG

CosG

0

0

1

0

-VI

-п 1

0

0

1

771

П

1

Для сокращения будем записывать cosG как с, a sinG как S. Выполняя действия над двумя внутренними матрицами, можно записать

С S О

-5 С О

—т(с — 1)н Tls -?z(c-l)-7?is 1

Отражение относительно произвольной прямой О i ражение от­носительно произвольной прямой можно осуществить, воспользовав­шись процедурой, аналогичной вращению вокруг произвольной точ­ки. при этом выполняются следующие действия:

Перемещение линии и объекта таким образом, чтобы линия про­шла через начало координат;

Поворот линии и объекта вокруг точки начала координат до со впадения с одной из координатных осей; отражение относительно координатной оси; обратный поворот вокруг начала координат; перемещение в исходное положение.

В матричном виде данное преобразование имеет предст авление

Ж= Т RRR 1 Г

[л:* у* 1J = [л; у 1]

Где Т’ — матрица перемещения; R матрица поворота вокруг началь­ной координаты: R — матрица отражения.

Геометрическая интерпретация однородных координат. Мат­рицу преобразования размером 3×3 для двумерных однородных ко­ординат можно разбить на четыре части:

А

B

Р

7 =

С

D

Ч

M

П

S

Напомним, что а. Ь. си D коэффициенты масштабирования, вра­щения, отражения и сдвига соответственно. Элементы M и п задают перемещение. Установим величины р и Q не равными 0. Какой эффект
мы получим^ В данном случае полезно рассмотреть геометрическую интерпретацию.

При P=Q= 0 и 5=1 однородные координаты преобразованных векто­ров всегда равны H 1.1ёометрически данный результат интерпретиру­ется как ограничение преобразования физической плоскостью H= 1.

Для иллюстрации эффекта преобразования при р и q, отличных от нуля, рассмотрим следующее выражение:

1 0 р О 1 Q О 0 1

[х у 1]

(6.114)

у (px + qy+l)].


Здесь h~ Рх+ qy+ 1. Преобразованный координатный вектор, вы­раженный в однородных координатах, лежит теперь в трехмерном пространстве, определенном как А = рх+ qy + 1.

Однако представляют интерес результаты, принадлежащие физи­ческой плоскости с H = 1, которые можно получить путем геометри­ческого проецирования точки с плоскости h-ф 1 обратно на плоскость H = 1 с использованием для этого проецирующих лучей, проходящих через начало координат.

Нормализуя выражение (6.114) делением однородных координат на величину H, получаем

[х* у* 1] = [х//г y/h 1J = [X/(px+qy+l) y/{px+qy+) 1], где X* = x/(px+ qy + 1); у* =y/(px+ qy+ 1).

Оставшийся элемент (ЗхЗ)-матрицы преобразования соответству­ет пропорциональному масштабированию, при котором все компо­ненты вектора изменяются пропорционально. Покажем это, рассмот­рев следующее преобразование:

О

О

1

О О

0

1 о

= [х у s].

[х у 1]

После нормализации получим х* = х/s и у* = y/s. Преобразование [х у ]Т= [х/S y/s 1 ] является равномерным масштабированием координатного вектора. Если S> 1, то происхо­дит растяжение, а если л < 1 — сжатие

Преобразование точек в пространстве. Способность визуализи­ровать или изображать пространственный объект является основой для понимания формы этого объекта. Кроме того, во многих случаях

Важна способность вращать, переносить и строить виды проекции объекта. Все это легко демонстрируется на примере нашего знаком­ства с относительно сложным незнакомым объектом. Чтобы понять его форму, мы тут же начинаем вращать объект, отодвигать на рас­стояние вытянутой руки, передвигать вверх и вниз, вперед и назад и т. д. Чтобы сделать то же самое с помощью компьютера, мы должны распространить наш предшествующий двумерный анализ на три из­мерения. Основываясь на полученном опыте, мы вводим однород­ные координаты. Таким образом, точка в трехмерном пространстве [х у Z] представляется четырехмерным вектором

[х’ у’ z* h] = [х у z 1] Г, Где Тявляется матрицей преобразования.

Как и ранее, преобразование из однородных координат в обыч­ные задается формулой

[х* у* Z* H] = [х /H y/h z/h 1] .

Обобщенную матрицу преобразования размерности 4×4 для трех­мерных однородных координат можно представить в следующем виде:

A b С р d Е f q g Г j Г ‘ I m П s

Матрицу преобразования 4×4 можно разделить на четыре отдель­ные части:

А

B

С

P

D

E

F

Q

G

Г

J

R

I

M

N

S

Верхняя левая (ЗхЗ)-подматрица задает линейное преобразование в форме масштабирования, сдвига, отражения и вращения. Ле­вая нижняя (1×3)-подматрица задает перемещение, а правая верх­няя (3 xl )-подматрица — перспективное преобразование. Последняя правая нижняя (1х1)-подматрица задает общее масштабирование.

Общее преобразование, полученное после применения этой (4×4)- матрицы к однородному вектору и вычисления обычных координат,
называется билинейным преобразованием. Б общем случае данное преобразование осуществляет комбинацию сдвига, локального мас­штабирования, вращения, отражения, перемещения, перспективно­го преобразования и общего масштабирования.

Трехмерное масштабирование. Диагональные элементы (4×4)- матрицы обобщенного преобразования задают локальное и общее масштабирование. Дпя иллюстрации этого рассмотрим преобразова­ние, которое показывает действие локального масштабирования:

TOC o "1-3" h z А ООО

О fl О О

РТ=[х у Z 1]

= [ах еу Jz 1]=[х* у* Z* 1].

О 0 J О

0 0 0 5

Общее масштабирование можно осуществить, воспользовавшись четвертым диагональным элементом т е.

10 0 0

РТ=[х у Z 1]

= |х’ у’ z 5]

0 10 0 0 0 10 0 0 0 5

Обычные или физические координаты имеют вид [х* у* Z* 1]=[х’/5 у /5 z/S 1]. ‘рсхмерные сдвиги. Недиагональные элементы в верхней левой (ЗхЗ)-подматрице обобщенной матрицы преобразования размером 4×4 задают сдвиг и в трех измерениях, т. е.

IT = [Х У z I]

= [Х + dy + gz bx + y + iz r, x + Fy + z 1].


Трехмерное вращение Прежде чем переходить к трехмерному вращению вокруг произвольной оси, рассмотрим вращение вокруг каждой из координатных осей. При вращении вокруг оси хостаются неизменными х-координаты координатного вектора Фактически вращение происходит в плоскостях, перпендикулярных оси х. Ана­логичным образом вращение вокруг осей у и z происходит в плоско­стях, перпендикулярных осям у и ZСоответственно. Преобразование

Координатного вектора в каждой из этих плоскостей задается матри­цей двумерного вращения. Эта матрица и неизменность координаты л: при вращении вокруг оси х позволяют записать (4х4)-иреобразова — ние однородных координат при повороте на угол а в виде

TOC o "1-3" h z 10 0 0

0 cosa sina 0

0 — sina cosa 0

0 0 0 1

Вращение считается положительным в смысле правила правой руки, т. е. ио часовой стрелке, если смотреть из начала координат в положительном направлении.

Ч-

Аналогично матрица преобразования для вращения вокруг оси у На угол (3 имеет вид

Cosj3 sin(5 0 0"

-sinj3 cosP 0 0

Т = ‘а

0 0 10

0 0 0 1

При вращении вокруг оси у на угол у преобразование имеет вид

Cosy 0

0 1

Siny 0

0 0

-siny 0

0 0

Cosy 0

0 1

7: =

При комбинированном повороте последовательно относительно осей х, у и z соответственно на углы a, Р и у матрица преобразования получается путем последовательного перемножения матриц Та, 7р и Т

Т= Т Тл т.

A Р у

Трехмерное отражение. В трехмерном пространстве отражение происходит относительно плоскости

При отражении относительно плоскости ху изменяются только значения z-координаты координатного вектора объекта. Таким обра­зом, матрицы преобразования 7^, и 7^ для отражения относитель­но плоскостей ry, Yz и Xz равны

TOC o "1-3" h z -1 о о о

0 10 0

0 0 10

О о о о -1 о

О 1

1

О о

О

1 О О 1

О о

О о

; Ъ =

; Туг

Т

Ху

0 0 0 1

ООО

-1 о о О 1 о О о 1

Пространственный перенос. Матрица пространственного пере­носа имеет вид

1

0

0

0

0

1

0

0

0

0

1

0

/

П

1

Перемещенные однородные координаты получаются с помощью преобразования

1

0

0

0

0

1

0

0

0

0

1

0

1

771

71

1

[x’y, z’/i]=/T = [x У 2 1]

Выполнив умножение, получим

[х’ у z h] = [(x+l) (y+m) (z+n) 1].

Из этого следует, что преобразованные физические координа­ты равны

X* = X + 1 у*=у + 7П 2* = 2 + П.

Композиции преобразований. Последовательные преобразования могут быть скомбинированы или объединены в одно (4х4)-преобразова — ние, дающее тот же самый результат. Так как перемножение матриц явля­ется некоммутативной (неперестановочной) операцией (АВ * ВА), то важен порядок ее выполнения. Правильный порядок определяется поло­жением конкретной матрицы преобразования относительно матрицы координатного вектора. Матрица, ближайшая к матрице координатного вектора, задает первое преобразование, а последняя — последнее преоб­разование. Математически это можно записать следующим образом:

РТ= РТТ…Т,

12 71 *

7 =

Где Т= 7jТ2… Тп — произвольная матрица маштабирования, сдвига, вращения, отражения, переноса, перспективного преобразования и проецирования.

Так как перспективные преобразования искажают геометричес­кие объекты, а преобразования проецирования приводят к потере информации, то в случае наличия этих матриц они должны быть рас­положены соответственно предпоследней и последней по порядку.

Leave a Reply

Name (required)


Mail (required)


Website



СИСТЕМЫ АВТОМАТИЗИРОВАННОГО ПРОЕКТИРОВАНИЯ УПАКОВОЧНОГО ПРОИЗВОДСТВА

Программы рисования

Программы рисования используются в качестве дополнительных компонентов к программам полиграфии, анимации, презентации. Художникам, работающим на компьютере, наверняка будет интере­сен растровый графический редактор Fractal Desigh Painter. В нем имитируется работа художественных инструментов: кисти, каранда­ша, пастели. Для большего удобства рекомендуется использовать план­шет. Программа позволяет передавать множество цветовых эффек­тов, использовать фильтры PhotoShop. Функции редактора Fractal Desigh Expression аналогичны […]

Основные понятия. Классификация систем массового обслуживания

Производственные системы предназначены для многоразового использования. Возникающие при этом процессы функционирования производственных систем получили название процессов обслуживания, А систсмы — систем массового обслуживания (САК)). Примерами таких систем являются парк технологических машин и транспортное сред­ство, обслуживающее этот парк, или комплект (комплекс) оборудо­вания и ремонтные бригады, занимающиеся восстановлением обо­рудования при его отказе, заказчики упаковочной продукции и предприятия, […]

Специализированное программное обеспечение САПР упаковки

Разработка геометрии картонной коробки, упаковки или диспле­ев выполняется в системе автоматизированного проектирования. Специалист, создающий проект, должен учесть множество техничес­ких параметров, связанных с производством: тип материала, кото­рый будет использоваться, толщину картона, напраьление волокон и т. д Оператору необходимо точно определить, где и как будут произ­водиться сложение и вырубка. После того как разработанная короб­ка принимается клиентом или […]